[minminRW]

Kilegoetz, please see below, this is conjugation of い形容詞 and な形容詞.

い形容詞(officially called 形容詞)
未然形－かろ (used when it is not decided.)
連用形－かっ・く・う (declinable word follows）
終止形－い (ending)
連体形－い (indeclinable word follows)
仮定形－けれ (subjunctive mood)
命令形－かれ (imperative form)

だ形容詞（you mention な形容詞, 形容動詞 is offcial）
未然形－だろ （でしょ）
連用形－だっ・で・に （でし）
終止形－だ （です）
連体形－な （です）
仮定形－なら
命令形－

Therefore, 嬉しくなる：い形容詞連用形＋動詞終止形 and 嬉しく is not adverb.
Likewise, な形容詞に is not adverb.