Hi.
I'm not from Yamaguchi prefecture, but I think I can understand.
I think most people in Japan can understand the dialect well, because we are accustomed to hear such dialects in TV dramas or movies, though we've never been to the place ourselves.
It's the same phenomena as we can understand the Edo era's Japanese, though there is no time-machine.
「私と一緒に小浜へ ゆけ(=行け） や。」
and, later on,
「役場へいったら、チブス(=腸チフス）は
法定伝染病 やさかい（＝だから、であるから）、
小浜の隔離病院へ
つれて ゆかな（＝行かないと） いかん（＝いけない 、ならない） いうた（＝と言った）。
しかたない（＝仕方がない）。
リヤカー に でも つんで（＝積んで＜（荷物を積む 、患者を積む） ゆかにゃ（＝行かなければ（ならない ））。
汽車には のせて（＝乗せて） くれん（＝くれない） 。」
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The real problem words are:
やさかい I know in 大阪弁, せやさかい＝だから。関係があるでしょうか？
あると思います。
せや さかい ＝そうで あるから、
や さかい ＝で あるから。
かんいうた
－－＞ いかんいうた
つんでゆかにゃ = 詰んでいかねば？？
積んでいかないと
のせてくれん ＝ 乗せてくれ！ (??)
乗せて くれない。
Edit やさかい has
got to be や＋さかい, where や＝だ and さかい＝から, right?
Yes. You're right.
My English try;
"Go to Obama with me."
"When I asked at the city office, the officer said that I must bring you to the isolation hospital in Obama, because typhoid is an official disease. We have no other choice.
I have to bring you there somehow, for example, by letting you ride on a two-wheeled cart.
They will not allow us to get on a train."
How about this version?